用一道体检题复习贝叶斯公式

最近帮朋友看一道概率题，发现自己对贝叶斯公式的印象只剩下「分母很长」。这里重新推一遍，顺便出几道题给自己练手。

题目

假设某种疾病在人群中的患病率是 1%。有一种检测：

• 患病的人去检测，99% 会呈阳性
• 没患病的人去检测，5% 会被误判为阳性

一个人检测结果为阳性，他真正患病的概率是多少？

先凭直觉猜一个数，再往下看。

推导

记 $D$ 为「患病」，$+$ 为「检测阳性」。题目给出的是：

我们要求的是 $P(D \mid +)$。贝叶斯公式：

分母用全概率公式展开：

答案是：大约六分之一，也就是 16.7%

为什么和直觉差这么多

直觉往往会盯着「99% 的准确率」，忽略了患病率本身只有 1%。换成具体人数会更直观：假设有 10000 人去检测，

阳性的一共 594 人，其中真正患病的只有 99 人，正好是六分之一。没患病的人基数太大，5% 的误判也就不少了。

这种「忽略基础比率」的倾向，在心理学里叫 基础比率谬误。

用代码验证

p_d = 0.01
p_pos_given_d = 0.99
p_pos_given_not_d = 0.05

p_pos = p_pos_given_d * p_d + p_pos_given_not_d * (1 - p_d)
print(p_pos_given_d * p_d / p_pos)  # 0.1666...

const pD = 0.01;
const pPos = 0.99 * pD + 0.05 * (1 - pD);
console.log((0.99 * pD) / pPos); // 0.1666...

练习

• 如果患病率从 1% 提高到 10%，其他条件不变，阳性者真正患病的概率会怎样变化？
  • 基本不变
  • 明显升高
  • 明显降低

解析：基础比率变大，分子增长得比分母快。代入计算约为 68.75%。

• 以下哪些做法可以提高阳性结果的可信度？
  • 降低误判率
  • 对阳性者再做一次独立检测
  • 扩大检测人数

解析：扩大检测人数不改变任何一个概率。第二次独立检测相当于用第一次的结果作为新的先验。

• 贝叶斯公式中的分母 $P(+)$ 可以用全概率公式展开。

解析：$P(+)$ 按「患病」与「未患病」两种情况分别计算再相加。

• 在本题中，$P(+ \mid D)$ 叫作检测的 灵敏度，$1 - P(+ \mid \neg D)$ 叫作检测的 特异度。

解析：灵敏度衡量「有病能查出来」，特异度衡量「没病不误报」。